【theはどういうもの？】
An American in Parisで「パリの（ある）アメリカ人」という意味になりますが、これが The American in Paris だと、まったく違う意味になります。
強いて訳せば「パリの（あの、誰もがわかる）アメリカ人」というイメージです。
the は「『その』と前後関係から特定できるもの」と習ったと思います。しかしこれも、個人的には「改めて説明しなくても、わかりきっていることをまとめるためにthe を使う」と考えています。
たとえば「月」は the moon ですが、これも「太陽系で 5番目に大きい地球唯一の衛星である、月」なんて説明を言わずとも、the をつけることで「（万国共通のあの）月」と、世界中の人がわかるのです。
Look at the bird. と言えば「（あなたにも見えているであろう、あそこを飛んでいる）その鳥を見て」と、これまた長々と説明しなくてもわかることを the の１語でまとめたことになります。
では、そんなことを頭に入れて、次の英文を日本語にするとどうなるでしょうか？
① I need to go to a bank.
② I need to go to the bank.
不定冠詞の a は「どれでもいいものの１つ」ですから「どこでもいい銀行」に。
定冠詞の the は「わかりきっていることをまとめるための the」ですから、「いつも行っているあの銀行」とか「うちの会社の口座がある例の銀行」とか、話者同士がお互いに特定できる銀行になります。
そのため答えは以下のようになるでしょう。
① （どこでもいいから）銀行に行かないと。
② （いつも行っている）あの銀行に行かないと。
